Question

已知a≥1/2,f(x)= -a^2 x^2 + ax +c .(1)[如果对任意x∈[0,1] ,总有f(x)≤1成立，证明c≤3/4; (2)已知关于

已知a≥1/2,f(x)= -a^2 x^2 + ax +c .(1)[如果对任意x∈[0,1] ,总有f(x)≤1成立，证明c≤3/4; (2)已知关于x的二次方程f(x)=0有两个不等实根a，b,且a≥0，b≥0,求实数c的取值范围。

Answer 1

(1)
首先，该二次函数的对称轴为：x=（1/2）a，而a>=1/2,所以有0<(1/2)a<=1;
因此有：f（x）的最大值在（0，1）之中，即f（1/2a）=c+（1/4）；
由题意知：必有：c+（1/4）<=1,所以有：c<=3/4
(2)
这个方程要是有两个不同解的话，就有判别式大于零，整理一下就能得到c>-1/4;
而两个根都大于零，再结合图像的特点（对称轴大于零），能得到：f（0）<0;整理一下就得到了c<0;
所以：有-（1/4）<c<0.