Question

已知定义在（0，正无穷大）上的函数f(x)对任意x,y属于（0，正无穷大），恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当0<x<1时f

已知定义在（0，正无穷大）上的函数f(x)对任意x,y属于（0，正无穷大），恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当0<x<1时f(x)>0。
1、证明 当x大于1时，f(x)小于0
2、判断函数f(x)的单调性并加以证明

Answer 1

1、显然f(1)=0
对任意x>1有0<(1/x)<1
所以f(1/x)>0
又f(1)=f(x)+f(1/x)=0
因此f(x)=-f(1/x)<0
2、令0<x1<x2则有0<x1/x2<1因此f(x1/x2)>0
又由f(x)性质可知f(x1)=f(x1/x2)+f(x2)
即f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)>0
由单调性定义知f(x)单调递减

Answer 2

1、令x=1，代入f(xy)=f(x)+f(y),得f(1)=0，令x>1,,0<y<1,且xy=1，则有0=f(x)+f(y），因为
f(y)>0,所以f(x)<0.

2、判断函数f(x)的单调性为在（0，正无穷大）上单减。令x>y>=1,则有xy>y>=1,f(xy)=f(x)+f(y)<f(y),令0<y<x<=1,则有xy<x<=1,
f(xy)=f(x)+f(y)>f(x),得证