Question

已知为数列的前项和,且,,,.()求证:数列为等比数列;()设,求数列的前项和;...

已知为数列的前项和,且,,,. ()求证:数列为等比数列; ()设,求数列的前项和; ()设,数列的前项和为,求证:.

Answer 1

根据可得到的表达式,两式相减可得到整理可得,即数列为等比数列.
先根据数列为等比数列求出的表达式,再对分奇偶数讨论可求出数列的前项和.
将的表达式代入到中求出数列的通项公式,进而可验证当时满足,然后当时对进行放缩可得到得证.
解:(),
.
,.
是以为公比的等比数列;
(),,.
,.
当为偶数时,
;
当为奇数时,.
综上,;
().
当时,
当时,
综上可知:任意,.
本题主要考查构造等比数列求通项公式,求数列的前项和.考查数列前项和的不等式的证明.