Question

一道大学复变函数求积分的题求解？

Answer 1

分享一种解法。设f(z)=1/[(z-3)(z^5-1)]。∵1/(z-3)在丨z丨=5/2内解析，1/(z^5-1)在丨z丨=5/2内有5个奇点，分别是zk=e^(2kπi/5)，其中k=0,1,2,3,4。
由留数定理，原式=(2πi)∑Res[f(z),zk]。
而，∑Res[f(z),zk]=lim(z→zk)[(z-zk)f(z)]=lim(z→zk)1/[5(z-3)z^4]=(1/5)(zk)/(zk-3)。
∴原式=(2πi/5)∑(zk)/(zk-3)=(πi/5)∑(1-3zk)/[5-3cos(2kπ/5)]。其中zk=e^(2kπi/5)，k=0,1,2,3,4。
供参考。