Question

求微分方程y'+y/x=x的通解

Answer 1

y”=y'+x
y”-y'=x
齐次的特征方程
r^2-r=0
r=1,r=0
齐次通解
y=c1e^x+c2
设特解为
y=ax^2+bx+c
y'=2ax+b
y''=2a
代入得
2a-(2ax+b)=x
2a=-1,2a-b=0
a=-1/2,b=-1
c待定
所以特解是
y=-1/2x^2-1x+c
因此非齐次通解是
y=c1e^x+c2-1/2x^2-1x+c

Answer 2

方法一、y'+y=e^{-x}即：e^{x}*y'+e^{x}*y=1即：e^{x}*y'+(e^{x})'*y=1即：(e^{x}*y)'=1积分得：e^{x}*y=x+A即：y=(x+A)*e^{-x}
方法二、令y=u*e^{-x}为原方程的解，则：u'*e^{-x}-u*e^{-x}+u*e^{-x}=e^{-x}即：u'=1，u=x+A从而得：y=(x+A)*e^{-x}