Question

求(xy"'-y")^2=y"'^2+1 通解，要过程哦 微分方程

Answer 1

求(xy"'-y")^2=y"'^2+1
考虑齐简悉次方程：
求(xy"'-y")^2=y"'^2
两边开方：
xy"'-y"=y"'（1）
或
xy"'-y"=-y"'（2）
（1）的求解：
（x-1）y'''=y''
dy''/y''=1/x-1
lny''=ln[C1(x-1)]
y''=C1(x-1)=C1x-C1
y'=C1x²/2-C1x+C2
y=C1x³/6-C1x²/2+C2x+C3
（2）的解：上面x-1换成x+1即可：
lny''=ln[C1(x+1)]
y''=C1(x+1)=C1x+C1
y'=C1x²/2+C1x+C2
y=C1x³/6+C1x²/2+C2x+C3
然后用拦穗乎变常数法，求原方程的解。
以（1）为例：
y=C1x³族中/6-C1x²/2+C2x+C3
y'=C1'x³/6+C1x²/2-C1'x²/2-C1x+C2'x+C2+C3'
=C1'x³/6+(C1-C1')x²/2+（C2'-C1)x+(C2+C3')
y''=C1''x³/6+C1'x²/2+C1'x²/2+C1x-C1''x²/2-C1'x-C1'x-C1+C2''x+C2'+C2'+C3''
=C1''x³/6+C1'x²+C1x-C1''x²/2-2C1'x-C1+C2''x+2C2'+C3''
=C1''x³/6+(C1'-C1''/2)x²+(C1-2C1'+C2'')x+(-C1+2C2'+C3'')
y'''=C1'''x³/6+C1''x²/2+(C1''-C1'''/2)x²+2(C1'-C1''/2)x+(C1'-2C1''+C2''')x+(C1-2C1'+C2'')+(-C1'+2C2''+C3''')
=C1'''x³/6+(3C1''/2-C1'''/2)x²+(3C1'-3C1''+C2''')x+(C1-3C1'+3C2''+C3''')
代入:
(xy"'-y")^2=y"'^2+1
求特解:
y'''=0,y''=C1,y'=C1x+C2,y=C1x²/2+C2x+C3

追答

取C1=±1,是满足题意的特解。

特解与齐次通解都是多项式，但是本题不是线性的，不能用“齐次通解十特解=通解”的关系。用变常数法，经过非常复杂的求解得到:

本题可以直接假设通解也是3次多项式: