Question

初三几何数学题

如图,AD为圆内接三角形,ABC的外角EAC的平分线与圆交与点D,F为BC上的点
1. 求证DB=DC
2.请你再补充一个条件,使直线DF一定经过圆心,并说明理由.

Answer 1

1.方法1
证明：由图可知：∠ABD＝∠ACD，∠DAC＝∠DBC
∵AD为圆内接三角形,ABC的外角EAC的平分线
∠EAC＝∠ABC+∠ACB
∴∠DAC＝1/2∠EAC＝1/2(∠ABC+∠ACB)
＝1/2((∠ABD+∠DBC)+(∠DCB-∠DCA))＝1/2(∠DBC+∠DCB)
∠DAC-1/2∠DBC=1/2∠DCB)
∴∠DBC=∠DCB
∴DB=DC
方法2
证明：由图可知：∠CAD=∠DBC
ABCD共圆，∴∠DAE=∠BCD
∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE
∴∠BCD=∠DBC
∴BD=CD

2.若DF⊥BC，则BF一定经过圆心
∵⊿DBC为等腰三角形，∴DF为底边BC的中垂线
∵圆内垂直且平分弦的弦必为圆的直径
∴BF一定经过圆心。

Answer 2

⑴∵∠DAC＝∠DBC(同弧所对的圆周角相等)
∠EAD＝∠DAC
∴∠EAD＝∠DBC
∵∠EAD＝∠DCB(圆内接四边形的外角等于它的内对角)
∴∠DBC＝∠DCB
∴DB＝DC

⑵可以补充条件：F是BC的中点，也可以补充条件：DF⊥BC，还可以补充条件DF平分∠BDC
由⑴知△DBC是等腰三角形，无论补充上面哪个条件都可以由“等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合”得出DF垂直平分BC，从而DF经过圆心

Answer 3

1）证明：CD弧对的角∠CAD=∠DBC
ABCD共圆，所以∠BAD+∠BCD=180
又∠DAE+∠BAD=180
所以∠DAE=∠BCD
因为AD平分∠CAE，所以∠CAD=∠DAE
所以∠BCD=∠DBC
所以BD=CD
2）若DF垂直于BC，则必有DF过圆心（因为此时DF是玄BC的垂直平分线，必然过圆心）