Question

以知f(x)是二次函数且f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)

Answer 1

因为f（0）=0，所以设二次函数 f（x）=ax^2+bx

所以f（x+1）=a（x+1）^2+b(x+1)=ax^2+(2a+b)x+a+b=ax^2+bx+x+1

得2a+b=b+1，a+b=1

得a=1/2，b=1/2

所以f（x）=1/2x^2+1/2x

Answer 2

f(x)是二次函数
设F(X)+AX^2+BX+C
F(0)=0 则有 C=0
F(X+1)=A(X+1)^2+B(X+1)=AX^2+2AX+A+BX+B=AX^2+BX+X+1
因为等式恒等
必有 2A+B=B+1 A+B=1 ==>A=1/2 B=1/2
所以F(X)=(1/2)(X^2+X)

Answer 3

设f(x)=ax^2+bx+c 则f（0）=c=0 所以c=0
f(x+1)=f(x)+x+1 设x=-1 则f(-1+1)=f(0)=f(-1)-1+1=0 得f(-1)=0
f(x+1)=f(x)+x+1 设x=-2 则f(-2+1)=f(-2)-2+1=f(-2)-1=f(-1)=0 得 f(-2)=1
所以a(-2)^2-2b=1 a(-1)^2-b=0 解得a=1/2 b=1/2
所以f(x)=1/2x^2+1/2x