Question

设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y),已知f(2)=1,且

设函数f（x）的定义域为(0，+∞),且对任意实数x,y,有f（xy）=f（x）+f（y）,已知f（2）=1,且当x>1时,f(x)>0，
1，求证f（1/2）=-1。
2。求证在(0，+∞)上单调递增
3，若f（x+1）-f（2x）≥2成立，求x取值范围

Answer 1

1.f(2*1)=f(2)+f(1)
f(1)=0
f(2*1/2)=0=f(2)+f(1/2)
f(1/2)=-1
2.f(x）+f(1/x）=f(1)=0
f(x)=-f(1/x)
取x1>x2>1,则x1*x2>x1,且f(x2)>0
f(x1*x2)-f(x1)=f(x2）>0
故f(x)在x>1时单调递增
又f(1)=0,当x>1时，f(x)>f(1)
当0<x<1时，f(x)=-f(1/x),故得证
3.f(x）单调递增，f(4)=f（2）+f（2）=2
f(x+1)-f(2x）>=f(4）
f(x+1)>=f(2x)+f(4)
f(x+1)>=f(8x）
有x+1>=8x,且x+1>0,2x>0,定义域为x>0
故0<x<1/7

Answer 2

解：
1、∵f（xy）=f（x）+f（y)
∴f（2）=f(1*2)=f(1)+f(2)
∴f(1)=0
f(1)=f(1/2*2)=f(1/2)+f(2)=0
∴f(1/2)=-1

2、令u>v>0.则u/v>1
又 ∵x>1时，f(x)>0
f(u/v)>o
即 f(u)+f(1/v)>0
∵f(1)=f(v*1/v)=f(v)+f(1/v)=0
f(1/v)=-f(v)
∴f(u/v)=f(u)-f(v)>0
∴f(x)在(0，+∞)上单调递增.

3、∵f(1)=f(2x)+f(1/2x)=0
∴f(2x)=-f(1/2x)
f(x+1)-f(2x)>=2
即f(x+1)+f(1/2x)>=2
即f[(x+1)/2x]>=2
∵f(2)=1,
∴2=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4)
∴f[(x+1)/2x]>=f(4)
∵f(x)在(0，+∞)上单调递增
∴(x+1)/2x>=4
解不等式得0<x<=1/7

Answer 3

解.(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0

(2)设0<x1<x2,则x2/x1>1
f(x2)=f(x1*x2/x1)=f(x1)+f(x2/x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>0
即f(x1)<f(x2)
所以f(x)在定义域上是增函数

(3)f(1)=f(3)+f(1/3)=0，即f(3)=-f(1/3)=1
f(9)=f(3)+f(3)=2
f(x)－f[1/(x-2)]≥2
即f(x)≥f[1/(x-2)]+f(9)=f[9/(x-2)]
因为f(x)在定义域上是增函数，则有
x≥9/(x-2)即(x²-2x-9)/(x-2)≥0
解得x≥1+√10或1-√10≤x<2
因为定义域为x>0
所以x的取值范围为(0,2)U[1+√10,+∞)

Answer 4

这是卷子上的，你等着我 ，我给你抄答案

Answer 5

zijixiang