Question

有界函数乘有界函数还是有界函数吗?

Answer 1

是的。

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界 设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）

则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。

根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为ƒ在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是ƒ在D上的上（下）界。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。

类似的我们可以定义无界函数: 设ƒ为定义在D上的函数，若对于任何M（无论M多大），都存在x0∈D，使得|ƒ(x)|≥M。相关详细定义请查看百度百科无界函数。

Answer 2

有界函数乘以有界，函数不一定是有界函数。因为函数是在一个定义域内，在全体的定义域内相乘的话，不一定存在。

Answer 3

是的。
设有界函数f(x)，g(x)满足|f(x)|<A,|g(x)|<B
则|f(x)g(x)|<AB，即f(x)g(x)也是有界函数。

Answer 4

有界函数乘有界函数，还是有界函数。如果
f(x)≤M，g(x)≤N，那么，
f(x)*g(x)≤MN。

Answer 5

有界函数 g(x) ,h(x)
因为有界
|g(x)|< M1
|h(x)|< M2
令
f(x) =g(x).h(x) ;有界函数x有界函数
|f(x)|
=|g(x)||h(x)|
< M1.M2
可以推导出
f(x) 是有界函数
有界函数乘有界函数还是有界函数 ： 得以证明