Question

高数 分段函数求导分段点定义法的问题

这个函数分段点用定义
在x等于±1处求导时 怎么判断用哪一段的函数？
如图 f（-1）处的左右极限怎么判断是用哪一段的函数算

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Answer 1

分段函数分段点求导不是一定要用定义法。
只要一个区间上的函数可以光滑延拓到区间外，那么区间端点上的单侧导数可以不用定义来算。比如说x＝a时y＝g（x）＝2x＋1对于这种情况。
根据函数表达式先尝试把f和g在a的附近延拓一下，可以发现x＝a是f（x）的间断点，这里的左导数要另外算；但是x＝a不是g（x）的间断点。
完全可以直接按表达式来求右导数可导必连续，连续不一定可导．万一分段处不连续怎么办？就算连续了，导数也不一定存在啊，所以用定义，求左导数和又导数，综合起来看是否可导。
绝对值函数是不是初等函数是个有争议的问题，除了绝对值函数外你说的那些都是初等函数，在高等数学里能接触到的不是初等函数的函数。
如分段函数，变上限积分函数，无穷多个函数的和（即无穷级数）等。可导一定连续，反过来不连续就一定不可导。
例如f(x)=x+1（x≥0）， =x （x<0) 这个函数通过用求导法则求导数的话，似乎x=0处的左右导数都等于1，从而认为f'(0)=1，但是f在x=0点不连续，所以不可导。
这就是判断连续性的作用，事实上刚才求出的两个1是导函数在x=0处的左右极限，而不是x=0点的左右导数，左右导数是要用定义求的，你可以自己试试，它的左导数是不存在的，从而不可导。
望采纳！

Answer 2

先考虑x<1时,f'(x)=2xe^(-x^2)+x^2*e^(-x^2)*(-2x)

=2x(1-x^2)e^(-x^2),
x>1时,f'(x)=0，
f'(0-)=f'(0+)=0,可知f'(0)存在，且为0.
可以吗？