Question

高三数学考试题.已知函数f x xlnx-1/2mx²-x

已知函数f x xlnx-1/2mx²-x（1）M=-2时求所有零点 （2）有函数有两个极值点，X1,X2.且X1e²

Answer 1

(1)当m=-2时，f（x）=xlnx+x2-x=x（lnx+x-1），x＞0．设F(x)=lnx+x-1
F'(x)=1/x
+1>0
F(x)在
定义域
内单调递增F(1)=0
f(x)有唯一零点x=1
(2)欲证x1x2>e2
等价于证明lnx1x2>2即lnx1+lnx2>2
f'(x)=1+lnx-mx-1=lnx-mx
lnx1=mx1
lnx2=
mx2
m=(lnx1+lnx2)/(x1+x2)
lnx1-lnx2=m(x1-x2)
lnx1-lnx2=(lnx1+lnx2)(x1-x2)/x1+x2)
lnx1+lnx2=(lnx1/x2)(x1+x2)/(x1-x2)
令t=x1/x2
t<1
则lnx1+lnx2=lnt(1+t)/(t-1)>2
lnt-2(t-1)/(1+t)<0
设g(t)=lnt-2(t-1)/(1+t)=lnt-2(1-2/(t+1))=lnt+4/(t+1)-2
g'(t)=1/t-4/(t+1)2=(t-1)2/t(t+1)2>0
g(t)递增
g(1)=0
t<1
g(t)<0得证