Question

设f(x,y)={(xy)/(√(x^2)+(y^2)),(x,y)≠(0,0), 0,(x,y)=(0,0).求数学大佬解释一下这个函数的可微问题？

不是说连续可偏导就能证明在该点可微吗？怎么参考答案说 连续 可偏导 【不可微】？这不就跟定律发生冲突了吗？题目在下图。求数学大佬解释一下这个函数的可微问题，尽量详细点。

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Answer 1

一阶偏导数在该点连续，则可微

Answer 2

第一张图中给出的结论是对的，只不过叙述有些问题产生了歧义：
“连续可偏导” 指的是该函数的一阶偏导数在这点连续，而不是函数在这点连续并且一阶偏导数存在。

另：一阶偏导数连续是在该点可微的充分条件，但不是必要条件。
所以第二张图的讨论与第一张图的结论是不矛盾的。

事实上，偏导数存在保证不了函数的连续性。任何书中都有很多的例子。

Answer 3

第一张图中给出的结论是对的，只不过叙述有些问题产生了歧义：
“连续可偏导” 指的是该函数的一阶偏导数在这点连续，而不是函数在这点连续并且一阶偏导数存在。

另：一阶偏导数连续是在该点可微的充分条件，但不是必要条件。
所以第二张图的讨论与第一张图的结论是不矛盾的。

事实上，偏导数存在保证不了函数的连续性。任何书中都有很多的例子。