Question

已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．

Answer 1

设直角三角形的三边长分别为a，b，c（c是斜边），
则a+b+c=60．
∵a≤b＜c，a+b+c=60，
∴60=a+b+c＜3c，
∴c＞20．
∵a+b＞c，a+b+c=60，
∴60=a+b+c＞2c，
∴c＜30．
又∵c为整数，
∴21≤c≤29．
根据勾股定理可得：a 2 +b 2 =c 2 ，把c=60-a-b代入，
化简得：ab-60（a+b）+1800=0，
∴（60-a）（60-b）=1800=2 3 ×3 2 ×5 2 ，
∵a，b均为整数且a≤b，
∴只可能是 60-a= 2 3 ×5 60-b= 3 2 ×5 或 60-a=2× 5 2 60-b= 2 2 × 3 2
解得 a=20 b=15 或 a=10 b=24. ，
∵三角形的外接圆的直径即为斜边长c，
∴当a=20，b=15时，c=25，三角形的外接圆的面积为 625 4 π ；
当a=10，b=24时，c=26，三角形的外接圆的面积为169π．