Question

1/x+√1-x^2的不定积分是什么？

Answer 1

1/x+√1-x^2的不定积分是lnx+(sin2t)/2+x/2+C。

令x=sinz

dx=coszdz ∫dx/[x+√(1-x²)] 

=∫cosz/(sinz+cosz)*dz 

=(1/2)∫[(sinz+cosz)+(-sinz+cosz)]/(sinz+cosz)*dz

 =(1/2)∫dz + (1/2)∫d(cosz+sinz)/(sinz+cosz)*dz 

=(1/2)z + (1/2)ln|sinz+cosz| + C 

=(1/2)(arcsinz) + (1/2)ln|x+√(1-x²)| + C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。