Question

矩阵和伴随矩阵秩的关系是什么？

Answer 1

一个方阵与其伴随矩阵的秩的关系：

1、当r(A)=n时，|A|≠0,所以|A*|≠0，所以r(A*)=n。

2、当r(A)=n-1时，|A|=0，但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子 式不为0（秩的定义），所以r(A*)大于等于1（A*的定义）。   

为了证明r(A*)=1，下面证明  r(A*) 小于等于1。                       

这里利用公式AA*=|A|E=0，根据上次给大家总结的有关秩的结论，我们得到r(A)+r(A*)小于等于n,因为r(A)=n-1，所以 r(A*) 小于等于1 ,综上 r(A*) =1。

3、当r(A)<n-1时，矩阵A中所有n-1阶子式均为0，即A*=0，所以r(A*)=0。

矩阵的秩的性质：

1、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

2、 初等变换不改变矩阵的秩。

3、 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。

4、P，Q为可逆矩阵，则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。

5、当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

6、当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。