正交矩阵的特征值是什么?

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柠檬本萌爱生活
高能答主

2022-01-28 · 答题姿势总跟别人不同
知道小有建树答主
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正交矩阵的特征值一定是1或-1。

(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα

= α^Tα = (α,α)

所以有 λ^2(α,α) = (α,α)

又因为 α≠0, 所以 (α,α)>0

所以 λ^2 = 1

所以 λ = ±1

即正交矩阵的特征值只能是1或-1。

矩阵性质

实数方块矩阵是正交的,当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基,它为真当且仅当它的行形成R的正交基。

假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的,但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字;他们只是MM=D,D是对角矩阵

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