正交矩阵的特征值一定是1或-1。
(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα
= α^Tα = (α,α)
所以有 λ^2(α,α) = (α,α)
又因为 α≠0, 所以 (α,α)>0
所以 λ^2 = 1
所以 λ = ±1
即正交矩阵的特征值只能是1或-1。
矩阵性质
实数方块矩阵是正交的,当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基,它为真当且仅当它的行形成R的正交基。
假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的,但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字;他们只是MM=D,D是对角矩阵。