Question

二项式各项系数之和是什么?

Answer 1

二项式定理中“各项系数和”是指所有的系数和。可将x=1代入计算结果即为结果。

二项式的各项系数之和，可以采用赋值法。

二项式系数之和公式为C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。

二项式系数，或组合数，是定义为形如(1 + x)*6*7展开后x的系数（其中n为自然数，k为整数）。从定义可看出二项式系数的值为整数。

定理的意义：

牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。 [4]  其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

这个定理在遗传学中也有其用武之地，具体应用范围为：推测自交后代群体的基因型和概率、推测自交后代群体的表现型和概率、推测杂交后代群体的表现型分布和概率、通过测交分析杂合体自交后代的性状表现和概率、推测夫妻所生孩子的性别分布和概率、推测平衡状态群体的基因或基因型频率等。

Answer 2

二项式展开后，其各项系数之和是 $2^n$，其中 n 是二项式中的指数。

具体来说，二项式展开为 $(a + b)^n$，其中 a 和 b 是实数，n 是非负整数。展开后的表达式中，每一项的系数可以通过组合计算得出。而所有系数的和正好等于 $2^n$。

例如，对于二项式展开 $(x + y)^3$，展开后的表达式为 $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$。系数之和为 $1 + 3 + 3 + 1 = 8$，而 $2^3 = 8$。

这一结果可以通过数学归纳法加以证明。

Answer 3

对于一个二项式展开$(a+b)^n$，其中$a$和$b$为常数，$n$为非负整数，其各项系数之和是$(a+b)^n$的展开式中所有项的系数之和。

根据二项式展开的公式，我们知道$(a+b)^n$的展开式可写为：
$$(a+b)^n=C_n^0a^n b^0 + C_n^1a^{n-1}b^1 + C_n^2a^{n-2}b^2 + \ldots + C_n^na^0 b^n$$

其中$C_n^i$为二项式系数，表示从$n$个元素中选择$i$个元素的组合数。根据组合数的性质，我们知道：
$$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n = 2^n$$

因此，$(a+b)^n$的展开式中各项系数之和为$2^n$。

Answer 4

二项式展开后，每一项的系数之和是2的n次方，其中n为二项式中的指数。

具体地说，给定一个二项式 (a + b)^n，展开后的每一项可以表示为 C(n, k) * a^k * b^(n-k)，其中 C(n, k)为组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数。

那么，展开后各项的系数之和就是：

C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n)

根据组合数的性质，以上的和等于2的n次方。这意味着，二项式展开后各项系数之和是2的n次方。