Question

如何利用矩阵的初等行变换判断向量组线性相关或线性无关?

Answer 1

m个n维列向量α1,α2,……,αm,如果m＞n.｛α1,α2,……,αm｝必然线性相关.
当m≤n时.对n行m列矩阵（α1,α2,……,αm）,进行行初等变换.目标是有r
列.其前r行构成的子式变成r阶单位矩阵.并且整个矩阵,自r+1行之后全部为
零.
如果r＝n.则.｛α1,α2,……,αm｝线性无关.
如果r＜n..｛α1,α2,……,αm｝线性相关.
并且：还同时解决了两个其他的重要问题.①找出了最大无关组.
②找出了“其他”向量关于这个最大无关组的表示式.
例如（α1,α2,α3,α4,α5）→行初等变换→
2,1,3,0,0
-1,0,2,1,0
12,0.-2,0,1
0,0,0,0,0.（标准形）,则有：
①.｛α1,α2,α3,α4,α5｝线性相关.（∵3＝r＜4＝n）
②.最大无关组为｛α2,α4,α5｝（当然不唯一.）
③.α1=2α2-α4+12α5.α3=3α2+2α4-2α5.
（这些结果的道理,只一个,就是：行初等变换保持列之间的线性关系.）