微分的几何意义是什么?
几何意义:设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。
微分的发展历史
在微分方面,十七世纪人类也有很大的突破。费马(Fermat)在一封给罗贝瓦(Roberval)的信中,提及计算函数的极大值和极小值的步骤,而这实际上已相当于现代微分学中所用,设函数导数为零,然后求出函数极点的方法。
巴罗(Barrow)亦已经懂得透过「微分三角形」(相当于以dx、dy、ds为边的三角形)求出切线的方程,这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。由此可见,人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。
2020-06-16 广告
微分的几何意义是:
设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。
萌芽时期
早在希腊时期,人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想;虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞,有时现代人甚至觉得这些讨论的论证和结论都很荒谬,但无可否认,这些讨论是人类发展微积分的第一步。
例如公元前五世纪,希腊的德谟克利特(Democritus)提出原子论:他认为宇宙万物是由极细的原子构成。在中国,《庄子.天下篇》中所言的「一尺之捶,日取其半,万世不竭」,亦指零是无穷小量。这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。