Question

设函数f(x)=x^2-4x-4,x属于[t,t+1]，(t属于R)上的最小值为g(t)

1.试求g(t)的函数解析式
2.作y=g(t)的函数图像并写出g(t)的最小值

Answer 1

函数f(x)=x²-4x-4，x∈[t，t+1]，(t∈R).

图象的对称轴为直线x=2，

①当t+1≤2即t≤1时，f(x)在[t，t+1]上为减函数，

∴当x=t+1时，函数f(x)有最小值f(t+1)=(t+1)²-4(t+1)-4=t²-2t-7，

即g(t)= t²-2t-7；

②当t<2<t+1即1<t<2时，f(x)在[t，2]上为减函数，在(2，t+1 ]上为增函数，

∴当x=2时，函数f(x)有最小值f(2)=2&sup2;-8-4= -8，

即g(t)= -8；

③当t≥2时，f(x)在[t，t+1]上为增函数，

∴当x=t时，函数f(x)有最小值f(t)= t&sup2;-4t-4，

即g(t)= t&sup2;-4t-4，

综上，函数g(x)的解析式为：

分段函数g(t)= t&sup2;-2t-7，(t≤1)；

-8，(1<t<2)；

 t&sup2;-4t-4，(t≥2).

由图可知，当1≤t≤2时，g(t)有最小值-8.