Question

设矩阵A的3次方等于0,那么(A+E)的逆矩阵等于什么?

Answer 1

设矩阵A的3次方等于0,那么(A+E)的逆矩阵等于-a-6e。

（a-e）²=a²-2a+e。

2（a+e）²=2a²+4a+2e。

所以原等式就是a²-2a+e=2a²+4a+2e。

即a²+6a+e=0。

即-a²-6a=e。

a（-a-6e）=e。

根据逆矩阵的定义，a和（-a-6e）的乘积是单位矩阵e。

那么a的逆矩阵就是-a-6e。

定理

（1）逆矩阵的唯一性。

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1。

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m。

对n阶方阵A,若r(A)=n，则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。

（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵。