什么是凸函数、凹函数?
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凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C(区间)上的实值函数f。
设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点X1<X2和任意的实数λ∈(0,1),总有f(λx1+(1-λ)x2≥λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凹函数。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C(区间)上的实值函数。若对I上的任意两点X1<X2和任意的实数λ∈(0,1),总有f(λx1+(1-λ)x2≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凸函数。
凸函数性质
1、若f为定义在凸集S上的凸函数,则对任意实数β≥0,函数βf也是定义在S上的凸函数;
2、若f1和f2为定义在凸集S上的两个凸函数,则其和f=f1+f2仍为定义在S上的凸函数;
3、若fi(i=1,2,…,m)为定义在凸集S上的凸函数,则对任意实数βi≥0,函数βifi也是定义在S上的凸函数;
4、若f为定义在凸集S上的凸函数,则对每一实数c,水平集Sc={x|x∈S,f(x)≤c}是凸集。
以上内容参考 百度百科—凹函数
以上内容参考 百度百科—凸函数
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