Question

A为n阶矩阵,且A^2-A=2E,证明A可以对角化

Answer 1

很显然,因为极小多项式没有重根.
再问： 能不能给点过程，根就只有2 ， -1~n阶还有其他根呢，为0，不算重根?
再答： 不管n多大，A的特征值只能是2或-1，没有别的根。A的极小多项式是x^2-x-2的因子，没有重根。 矩阵可对角化等价于极小多项式没有重根，这个是很基本的结论，用Jordan标准型容易证明。
再问： 极小多项式没有重根可以推出矩阵的对角化，不能等价。。 我具体是这里不懂（A的极小多项式是x^2-x-2的因子，没有重根。），为什么有这因果关系~Jordan标准型（不知道是什么）~~原谅我的愚笨~~
再答： 看来你学得很成问题，即便不知道Jordan标准型也不应该就束手无策。 首先明确，A的特征值一定是2或-1。如果Ax=λx，那么(A^2-A-2E)x=(λ^2-λ-2)x，所以λ=2或λ=-1。 然后，A的极小多项式是次数最低的满足f(A)=0的多项式（这是定义！），既然A^2-A-2E=0，A的极小多项式只有三种可能：x^2-x-2或x-2或x+1，不论如何一定是x^2-x-2的因子。 到这里为止只要有一点不明白就说明没学好。 接下来是对角化。 A一定是可以上三角化的，P^{-1}AP = [U,V; 0, W]，其中U和W是对角元分别是2和-1上三角阵。再选取适当的[I X; 0 I]型的变换可以把[U,V; 0, W]约化到分块对角阵[U, 0; 0 W]。相似变换不改变极小多项式，所以f(A)=0等价于f(U)=0且f(W)=0。对于f(x)=(x-2)(x+1)，直接用反证法证明f(U)=0可以推出U=2E，同样W=-E。 再不会我就不管了，自己反复看。