A是n阶矩阵,A^2=E,证A可对角化
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易知A的特征值只能是1或-1,并有(A+E)(A-E)=0,
则r(A+E)+r(E-A)≤n,同时又有r(A+E)+r(E-A)≥r(A+E+E-A)=r(2E)=n
故r(A+E)+r(E-A)=n,
那么A对于特征值-1的线性无关特征向量的个数为n-r(A+E);
A对于特征值1的线性无关特征向量的个数为n-r(A-E);
A的所有线性无关特征向量的个数是n-r(A+E)+n-r(A-E)=n个
所以A一定可对角化
则r(A+E)+r(E-A)≤n,同时又有r(A+E)+r(E-A)≥r(A+E+E-A)=r(2E)=n
故r(A+E)+r(E-A)=n,
那么A对于特征值-1的线性无关特征向量的个数为n-r(A+E);
A对于特征值1的线性无关特征向量的个数为n-r(A-E);
A的所有线性无关特征向量的个数是n-r(A+E)+n-r(A-E)=n个
所以A一定可对角化
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