Question

n阶矩阵A的秩为n，则A一定可以对角化吗

Answer 1

可以。

n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件A有n个线性无关的特征向量，而特征值不同特征向量一定不同，由n阶方阵A具有n个不同的特征值可以推出A与对角阵相似，所以n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。

但反之，则不一定成立。A与对角阵相似，特征值可能不同，也有可能出现相同的情况，只要满足A有n个线性无关的特征向量即可，所以n阶方阵A具有n个不同的特征值不是A与对角阵相似的必要条件。

当矩阵是大于等于二阶时：

主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式。

非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的。

主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。

Answer 2

可以。

因为任何n－1阶子式的秩不超过n－3，所以其行列式一定是0，从而伴随矩阵为0。

r（A）＝n－1时A的伴随非零。

考虑矩阵的秩，有：R（AB）≤R（A），

则n＝R（E）＝R（A＾K）≤R（A）≤n，

R（A）＝n

所以A是非奇异阵，可以对角化。

扩展资料：

对角线矩阵就是主对角线以外的所有元素都为0的矩阵。对角线上的元素可以是0或者别的。对角线元素相等的对角矩阵称为定量矩阵。一个对角线上都是1的对角矩阵叫做单位矩阵。

如果n阶矩阵A有n个不同的特征值，那么A必须与对角矩阵相似。

注：当A的特征方程有多个根时，可能不存在n个线性无关的特征向量，因此可能不可能对角化。

参考资料来源：百度百科-对角化

Answer 3

可以。

因为任何n-1阶子式的秩不超过n-3，所以其行列式一定是0，从而伴随矩阵为0。 

r(A)=n-1时A的伴随非零。

考虑矩阵的秩，有：R(AB)≤R(A),

则n=R(E)=R（A^K)≤R(A)≤n,

R（A）=n

所以A是非奇异阵，可以对角化

扩展资料：

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。

若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。

说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。

参考资料来源：百度百科-对角化

Answer 4

不一定的。下面的二阶矩阵就是一个反例，它的秩是2，但不可以对角化。
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