Question

在△ABC中，AB分之AC=cosC分之cosB。 (1)证明B=C. (2)若cosA=负三分之一，求sin(4B+3分之派)的值。

Answer 1

1、AC/AB=cosB/cosC,
根据正弦定理，
AC/AB=sinB/sinC,
cosB/cosC=sinB/sinC,
sinB/cosB=sinC/cosC,
tanB=tanC,
∵0<B<π,0<C<π,
∴B=C。
2、cosA=-1/3，
三角形是等腰三角形，作BC边上的高AD，
A/2是锐角，
cosA/2=√[（1+cosA)/2]=√3/3，
cosA/2=AD/AB=sinB=√3/3,
B是锐角，
sinB=√3/3，
cosB=√[1-(sinB)^2]=√6/3,
因cosA<0，A是钝角，B+C<π/2，2B<π/2，
sin2B=2sinBcosB=2√2/3，
cos2B=√[1-(sin2B)^2]=1/3,
sin4B=2sin2Bcos2B=2*(2√2/3)*(1/3)=4√2/9,
由sin2B=2√2/3可得，
π/4<2B<π/2，
π/2<4B<π，
4B为钝角，
cos4B=-√[1-(sin4B)^2]=-7/9,
sin(4B+π/3）=sin(4B)*cos(π/3)+sin(π/3)*cos(4B)
=(4√2/9)*(1/2)+(√3/2)*(-7/9)
=(4√2-7√3)/18.

也可以用sin2B=sin(B+C)=sin（π-A）=sinA=2√2/3求得。

Answer 2

（1）作AD⊥BC与D
cosB/cosC=(BD/AB)/(CD/AC)=AC/AB 所以BD=CD 那么有AB=AC 所以B=C
（2）A+2B=π 所以sin(A+2B)=sinAcos2B+cosAsin2B=0
sin(4B+π/3)=sin4Bcosπ/3+cos4Bsinπ/3
sin4B=2sin2Bcos2B, cos4B=(cos2B)^2-(sin2B)^2
根据这几个关系式就可以算了

Answer 3

由正弦定律AB/AC=sinC/sinB，得cosC/cosB=sinC/sinB
sinC/cosC=sinB/sinB tanC=tanB,
在（0，∏)有 B=C