Question

如何理解有界函数？

Answer 1

有界变量

当函数的自变量通过定义字段时，函数的值不会无穷大。这样的函数是有界函数。数学语言中的R。有一个正数m，因此对于域中的任意数x，| f（x）|小于m。例如，当域是（0,1），x^2是有界函数，m是2时，我们可以看到。但是同一个域，1/X不是有界函数，你找不到满足上述条件的m。

1、有界变量：当x趋于无穷大时，SiNx的极限不存在并且总是在-1和1之间摆动，这是一个有界变量。

2、极限是指自变量趋于某一点或无穷大时函数值的趋势。

3、无穷大是指正负无穷大，它不存在于极限中，因为它是不确定的。

4、无穷小是指趋于0的变量。

有界函数不一定是周期函数，例如：y=SiNx，X∈[0，π]，有界，但不是周期函数。周期函数不一定有界，例如y=TaNx，（x∈R，x≠Kππ/2，K∈z），它们是周期函数，但没有界。

有界函数和周期函数怎么区分？

有界变量：区间上的有界函数：| f（x）|≤m，x取区间上的值，m为有限正数。或有界序列：| xn |≤m，n取任意正整数。

特殊情况是有界序列，其中x是由所有自然数组成的集合n。由ƒ（x）=SiNx定义的函数f:R→R是有界的。当x接近-1或1时，函数的值会变得越来越大。

有界函数

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

概念

等价定义

设ƒ(x)是区间E上的函数。若对于任意属于E的x，存在常数M>0，使得|ƒ(x)|≤M，则称ƒ(X)是区间E上的有界函数。 

例子：正弦函数sin x 和余弦函数cos x为R上的有界函数，因为对于每个x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1。

性质

函数的有界性与其他函数性质之间的关系

函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。

单调性：闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

连续性：闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。

可积性：闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。