Question

设f(x)是定义R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),

1.求f(0)的值
2.求证f(x)为奇函数
3.若函数f(x)是R上的增函数，已知f(1)=1且f(2a)>f(a-1)+2,求a的取值范围

请给详细点的过程，谢谢

Answer 1

f(x)是定义R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)
1.求f(0)的值
f(x+y)=f(x)+f(y)
让x=0，y=0；
有f(x+y)=f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
2.求证f(x)为奇函数
f(x+y)=f(x)+f(y)
让y=-x
则：f(x-x)=f(x)+f(-x)= f(0)=0
所以f(-x)=-f(x) ，f(x)为奇函数
3.若函数f(x)是R上的增函数，已知f(1)=1且f(2a)>f(a-1)+2,求a的取值范围
因f(1)=1
f（2）=f（1+1）=f(1)+f(1)=2
所以f(2a)>f(a-1)+2=f(a-1)+f（2）=f（a-1+2）=f（a+1）
f(x)是R上的增函数
所以要f(2a)>f（a+1）
只需2a>a+1
所以a>1

Answer 2

这是一道抽象函数的题目 无非要赋值而已啊 1 令x=y=0 得 f(0)=f
(0)+f(0) 解得f(0)的值为0
2 令y=—X 则f（0）=f(x)+f(-x),由一知f(x)+f(-x)=0 即可证明得出
3 也简单

Answer 3

(1)令x=y=0 f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0

(2)令-x=y f(0)=f(0)+f(0) f(-x)+f(x)=0 奇函数

（3）若函数f(x)是R上的增函数，已知f(1)=1，f（2）=2

f(2a)>f(a-1)+2 f(2a)>f(a-1)+f（2）=f(a+1)

若函数f(x)是R上的增函数 2a>a+1 a>1

Answer 4

1.令x=y=0,得f(0)=2f(0),
∴f(0)=0.
2.f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数。
3.f(2)=2f(1)=2,
∴f(a-1)+2=f(a+1),
∵f(x)是R上的增函数，f(2a)>f(a-1)+2=f(a+1),
∴2a>a+1,a>1,为所求。