设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒f(x+y)=f(x).f(y),当x>0时,有0<f(X)<1
设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒f(x+y)=f(x).f(y),当x>0时,有0<f(X)<1求证:(1)f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1(2...
设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒f(x+y)=f(x).f(y),当x>0时,有0<f(X)<1
求证:(1) f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1
(2) f(x)在R上单调递减 展开
求证:(1) f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1
(2) f(x)在R上单调递减 展开
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1.
令x=1,y=0
得f(1+0)=f(1)*f(0)
∴f(0)=1
令y=-x,则f(x+y)=f(0)=1
即f(x+y)=f(x)*f(y)=f(x)*f(-x)=1
f(x)=1/f(-x)
当x<0时, - x>0,
则0<f(-x)<1
∴1/f(-x)>1
即f(x)>1
2.
令y>0,则x+y>x,且0<f(y)<1
f(x+y)/f(x)=f(x)*f(y)/f(x)=f(y)
∴0<f(x+y)/f(x)<1
∵f(x)>0
∴f(x)>f(x+y)
又∵x<x+y
∴ f(x)在R上单调递减
令x=1,y=0
得f(1+0)=f(1)*f(0)
∴f(0)=1
令y=-x,则f(x+y)=f(0)=1
即f(x+y)=f(x)*f(y)=f(x)*f(-x)=1
f(x)=1/f(-x)
当x<0时, - x>0,
则0<f(-x)<1
∴1/f(-x)>1
即f(x)>1
2.
令y>0,则x+y>x,且0<f(y)<1
f(x+y)/f(x)=f(x)*f(y)/f(x)=f(y)
∴0<f(x+y)/f(x)<1
∵f(x)>0
∴f(x)>f(x+y)
又∵x<x+y
∴ f(x)在R上单调递减
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