Question

如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB=30°，∠ABC=60°，四边形ABCD的面积为5根号3，求AD的长

Answer 1

解：

方法1：分别过C、D作AB的垂线交AB于E、F，设AD=a；

∵CE⊥AB，∠ABC=60°，BC=1

∴BE=1/2，CE=√3/2

∵DE⊥AB，∠DAB=30°，AD=a

∴DF=a/2，AF=√3a/2

∴S△ADF=AF*DF/2=√3a^2/8

S△BCE=BE*CE/2=√3/8

S梯形CEFD=(CE+DF)*EF/2=[(a+√3)/2]*[(15-√3a)/2]/2=-√3a^2/8+3a/2+15√3/8

S四边形ABCD=S△ADF+S△BCE+S梯形CEFD=3a/2+2√3=5√3

解得a=2√3 

方法2：延长BC和AD交于E；

∵∠DAB=30°，∠ABC=60°，AB=8

∴AE⊥BE，AE=4√3，BE=4

∴S△ABE=AE*BE/2=8√3

∵S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=5√3

∴S△CDE=CE*DE/2=3√3

∵BE=4，BC=1

∴CE=3

∴DE=2√3

∴AD=AE-DE=4√3-2√3=2√3

Answer 2

延长BC和AD交于E点，则三角形ABE为直角三角形，因为，∠DAB=30°，∠ABC=60°。从而角EAB=90度。又AB=8,为斜边，所以BE=4是30°所对直角边，
AE=4倍根号3，所以三角形ABE的面积为8倍根号3，而四边形的面积为5倍根号3，
所以直角三角形CDE的面积为3倍根号3，又BC=1，所以CE=3是直角三角形CDE的直角边，根据面积公式，直角三角形CDE的另一条直角边DE=2倍根号3了，所以
所求边AD的长度为2倍根号3。

Answer 3

延长AD,BC交于E,因为∠dab=30°,∠abc=60°,所以△ABC为直角三角形,
于是，BE=AB/2=4，CE=BE-BC=4-1=3，S-△ABC=(1/2)*AB*BE*sin60°=8√3，
已知S-ABCD=5，所以S-△DCE=8√3-5，即(1/2)*CE*DE=8√3-5,所以DE=(16√3-10)/3，
而AE=(√3/2)AB=4√3，所以AD=AE-DE=4√3-(16√3-10)/3=(10-4√3)/3.

Answer 4

解：延长AD、BC交于E，
∵∠DAB=30°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=90°．
∴BE=12AB=4，
AE=82-42=43．
∴S△ABE=12×4×43=83．
∴△CDE的面积=△ABE的面积-四边形ABCD的面积=83-53=33．
CE=BE-BC=4-1=3，
∴S△DCE=12×DE×EC=33，
∴DE=3
3×2CE=23，
则AD=AE-DE=43-23=23…