Question

试证对于任意正整数n有1/1*2*3+1/2*3*4+.1/n(n+1)(n+2)

Answer 1

这个是数列问题,简单的解法如下：
根据描述,该数列的通项公式为(n表示下标第几项)：
a[n]=1/n(n+1)(n+2)
将a[n]进行等价转换如下：
a[n]=1/(n*(n+1)*(n+2))
=(1/n)*(1/(n+1)-1/(n+2))
=(1/n)*(1/(n+1))-(1/n)*(1/(n+2))
=1/n-1/(n+1)-1/2(1/n-1/(n+2))
=1/n-1/(n+1)-1/(2n)+1/(2(n+2))
=1/(2n)-1/(n+1)+1/(2(n+2))
所以
2a[n]=1/n-2/(n+1)+1/(n+2)
=1/n-1/(n+1)-1/(n+1)+1/(n+2)
以此类推
2a[n-1]=1/(n-1)-1/n-1/n+1/(n+1)
2a[n-2]=1/(n-2)-1/(n-1)-1/(n-1)+1/n
2a[n-3]=1/(n-3)-1/(n-2)-1/(n-2)+1/(n-1)
2a[n-4]=1/(n-4)-1/(n-3)-1/(n-3)+1/(n-2)
...
...
...
2a[4]=1/4-1/5-1/5-1/6
2a[3]=1/3-1/4-1/4-1/5
2a[2]=1/2-1/3-1/3-1/4
2a[1]=1-1/2-1/2-1/3
由此可以看出,将数列累加后,除了a[1]和a[n]外,其他各项全被消掉,
而a[1]只剩下"1-1/2"没有被消掉,a[n]只剩下"-1/n+1/(n+1)"没有被消掉,
由此可以得出：
2(a[1]+a[2]+...+a[n])=1-1/2-1/n+1/(n+1)=1/2-1/(n(n+1))