Question

急啊 对任何正整数n，试证: 24｜n（n²-1）（3n+2）； 6｜（n³+11n）

Answer 1

(1)n-1，n，n+1是三个连续整数，
所以，必有一个是3的倍数，
所以，3|n(n²-1)
所以，3|n(n²-1)(3n+2)

若n为奇数，则 8|n²-1
若n为偶数，则 8|n(3n+2)
所以，8|n(n²-1)(3n+2)

因为(3，8)=1
所以，24|n(n²-1)(3n+2)

追答

(2)n³与11n的奇偶性相同，
所以， n³+11n是偶数，

若3|n，则3|n³+11n
若3不能整除n，则
n=3k±1
n²+11=9k²±6k+1+11
=9k²±6k+12
=3(3k²±2k+4)
所以， 3|n²+11
所以，3|n³+11n

因为(2，3)=1
所以，6|n³+11n