Question

如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.

如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.。
求证：四边形ADCE为矩形；
当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？
各位，有点急！图自己画下，很好画的！答得好加分。

谢谢各位的回答！还很多人类，只能采取一个为最佳答案，有点为难哦！我就采取有图的吧！

Answer 1

1)因为AB=AC,AD⊥BC,所以∠ABC=∠ACB，AD是∠BAC的角平分线，∠BAD=∠CAD.
因为AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
所以E点在直线AN上,∠MAE=∠EAC.
因为点M在线BA的延长线上，所以∠BAM为180度。
又因为∠BAD=∠CAD,∠MAE=∠EAC
所以∠DAC+∠CAE=90度。所以DA⊥AE。
因为AD⊥BC且AE⊥CE，所以∠ECB=90度，
所以AD平行且等于EC，AE平行且等于DC。
所以四边形ADCE为矩形。
2）若使四边形ADCE为正方形，
则AC垂直且等于DE，∠EAC=∠CAD。
因为∠MAE=∠EAC，∠BAD=∠CAD，
所以∠MAE=∠EAC=∠BAD=∠CAD=45度。
所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=90度。
又因为AB=AC，所以△ABC满足等腰直角三角形时，四边形ADCE是正方形。

Answer 2

因为 AN为△ABC外角∠CAM的平分线
所以 角CAE=CAM/2=(B+C)/2=BCA
所以BC//AE
因为 CE⊥AN CE⊥AN 所以AD//CE(容易知道的)
又 四边形ADCE 中ADC为直角
所以 四边形ADCE为矩形

当ABC 为等腰直角三角形是 四边形ADCE是正方形
因为此时 AC为角平分线 到 角两边距离相等 所以CE=CD
四边形ADCE是正方形

Answer 3

AB=AC 得到∠B=∠BCA
∵∠CAM为外角，∠CAM=180°-∠BAC=∠B+∠BCA=2∠BCA
AN为△ABC外角∠CAM的平分线,得∠CAN=1/2∠CAM=∠BCA
∴ AN‖BC
又∵AD⊥BC CE⊥AN
∴四边形ADCE为矩形

当△ABC为等腰直角三角形是四边形ADCE是正方形

Answer 4

证明，利用角平分线得角MAN=CAN，而角MAC=角B+ACB，角B=ACB，角MAC=角MAN+NAC，所以可换得角NAC=ACB得AN平行于BC，由AD⊥BC得AD⊥AN，又CE⊥AN，所以ADCE中有三个直角，可得矩形。
当△ABC满足等腰直角三角形时可得ADCN是正方形

Answer 5

∠MAN=1/2∠CAM=(∠ABC+∠ACB)/2,因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB，所以∠MAN=∠ABC，则有AN//BC,则有∠ADC+∠DAN=180°，又∠AEC=∠ADC=90°，所以∠DAN=90°,则四边形ADCE中四个内角均为直角，即为矩形。
当AE=CD时四边形ADCE为正方形，则△ADC为等腰直角三角形，易证△ABC为等腰直角三角形。