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已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E。
⑴试说明:四边形ADCE为矩形;⑵当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明。图:http://zhidao.baidu.com/question/...
⑴试说明:四边形ADCE为矩形;
⑵当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明。
图:http://zhidao.baidu.com/question/201987965.html?fr=qrl&cid=1093&index=3&fr2=query
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⑵当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明。
图:http://zhidao.baidu.com/question/201987965.html?fr=qrl&cid=1093&index=3&fr2=query
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1.
因为 AB=AC
所以 角B=角ACB
因为 角CAM=角B+角ACB
所以 角CAM=2角B
因为 AN平分角CAM
所以 角MAE=角EAC=角B
所以 AN//BC
因为 AD垂直BC
所以 AD垂直AN
因为 CE垂直AN
所以 AD//CE
因为 AN//BC
所以 四边形ADCE是平行四边形
因为 AD垂直BC
所以 角ADC=90度
因为 四边形ADCE是平行四边形
所以 四边形ADCE为矩形
2.
因为 四边形ADCE为矩形
所以 当AD=DC时,四边形ADCE是一个正方形
因为 AD垂直BC
所以 角ADB=角ADC=90度
因为 AB=AC,AD=AD
所以 三角形ADB全等于三角形ADC
所以 BD=DC
因为 当AD=DC时,四边形ADCE是一个正方形
所以 当AD=1/2BC时,四边形ADCE是一个正方形
因为 AB=AC
所以 角B=角ACB
因为 角CAM=角B+角ACB
所以 角CAM=2角B
因为 AN平分角CAM
所以 角MAE=角EAC=角B
所以 AN//BC
因为 AD垂直BC
所以 AD垂直AN
因为 CE垂直AN
所以 AD//CE
因为 AN//BC
所以 四边形ADCE是平行四边形
因为 AD垂直BC
所以 角ADC=90度
因为 四边形ADCE是平行四边形
所以 四边形ADCE为矩形
2.
因为 四边形ADCE为矩形
所以 当AD=DC时,四边形ADCE是一个正方形
因为 AD垂直BC
所以 角ADB=角ADC=90度
因为 AB=AC,AD=AD
所以 三角形ADB全等于三角形ADC
所以 BD=DC
因为 当AD=DC时,四边形ADCE是一个正方形
所以 当AD=1/2BC时,四边形ADCE是一个正方形
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因为在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,,CE⊥AN,垂足为点E。
AB=AC 所以AD平分角ABC
AN是△ABC外角∠CAM的平分线
所以角DAN=90
AD⊥BC
所以ADCE为矩形
如果ADCE为正方形
AD=DC
所以三角形ABC中要满足 高为底边的一半 才能使为正方形
AB=AC 所以AD平分角ABC
AN是△ABC外角∠CAM的平分线
所以角DAN=90
AD⊥BC
所以ADCE为矩形
如果ADCE为正方形
AD=DC
所以三角形ABC中要满足 高为底边的一半 才能使为正方形
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(1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC,
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE.
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=1 2 ×180°=90°,
又∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
(2)证明:∵四边形ADCE是正方形,
∴DC=AD,
∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴△ADC为等腰直角三角形,
∴∠DAC=∠ACD=45°,
∴∠BAC=90°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
即△ABC的形状是等腰直角三角形.
∴∠BAD=∠DAC,
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE.
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=1 2 ×180°=90°,
又∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
(2)证明:∵四边形ADCE是正方形,
∴DC=AD,
∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴△ADC为等腰直角三角形,
∴∠DAC=∠ACD=45°,
∴∠BAC=90°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
即△ABC的形状是等腰直角三角形.
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(1)由题意可知△ABC为等腰三角形,且∠B=∠C,则可得
∠CAM=∠B+∠ACB=2∠B=2∠ACB
因为AN是△ABC外角∠CAM的平分线,所以∠CAM=∠CAN+∠NAM=2∠CAN=2∠NAM
综合上面2个等式可知:∠CAM=2∠B=2∠ACB=2∠CAN=2∠NAM
即:∠ACB=∠CAN(内错角相等)可知AN平行于BC且∠CEA、∠ADC都是直角
可得到四边形ADCE为矩形。
(2)四边形ADCE是一个正方形→AD=CD=BD,且△ACD为等腰直角三角形,又△ABC为等腰三角形
综合上面3条可知,当∠CAB为直角时,四边形ADCE是一个正方形。
证明过程倒过来即可
∠CAM=∠B+∠ACB=2∠B=2∠ACB
因为AN是△ABC外角∠CAM的平分线,所以∠CAM=∠CAN+∠NAM=2∠CAN=2∠NAM
综合上面2个等式可知:∠CAM=2∠B=2∠ACB=2∠CAN=2∠NAM
即:∠ACB=∠CAN(内错角相等)可知AN平行于BC且∠CEA、∠ADC都是直角
可得到四边形ADCE为矩形。
(2)四边形ADCE是一个正方形→AD=CD=BD,且△ACD为等腰直角三角形,又△ABC为等腰三角形
综合上面3条可知,当∠CAB为直角时,四边形ADCE是一个正方形。
证明过程倒过来即可
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1.证明:∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,∴∠MAE=1 2 ∠MAC,
∵∠MAC=∠B+∠ACB,
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∴∠MAE=∠B,∴AN∥BC,
∵AB=AC,点D为BC中点,∴AD⊥BC,
∵CE⊥AN,∴AD∥CE,
∴四边形ADCE为平行四边形(有两组对边分别平行的四边形是平行四边形),
∵CE⊥AN,∴∠AEC=90°,
∴四边形ADCE为矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
2.当AD=1 2 BC时,当∠BAC=90°时,当∠BCA=45°时,四边形ADCE均为正方形.
∵∠MAC=∠B+∠ACB,
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∴∠MAE=∠B,∴AN∥BC,
∵AB=AC,点D为BC中点,∴AD⊥BC,
∵CE⊥AN,∴AD∥CE,
∴四边形ADCE为平行四边形(有两组对边分别平行的四边形是平行四边形),
∵CE⊥AN,∴∠AEC=90°,
∴四边形ADCE为矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
2.当AD=1 2 BC时,当∠BAC=90°时,当∠BCA=45°时,四边形ADCE均为正方形.
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∠BAC=180-(∠ABC+∠C)=180-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为,∠1 =∠2,BE⊥AE
所以,△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE
∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C
BF=CF
AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为,∠1 =∠2,BE⊥AE
所以,△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE
∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C
BF=CF
AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE
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