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级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n$ 是发散的。
这可以通过狄利克雷判别法(Dirichlet's test)来证明。设 $a_n = \sin n$,$b_n = \frac{1}{n}$,则有:
$a_n$ 是周期为 $2\pi$ 的函数,且在 $[0, 2\pi]$ 区间单调递减,$|a_n| \leqslant 1$;
${b_n}$ 单调趋于零,并且 $\left|\sum_{k=1}^{n} b_k\right| =\left|\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\right| \leqslant \ln(n)+1$,即 ${b_n}$ 的部分和有界。
因此,根据狄利克雷判别法,级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \sin n \cdot \frac{1}{n}$ 收敛。但是,$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \sin n$ 不满足调和级数的收敛条件,因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n$ 发散。
Sigma-Aldrich
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级数Sinn = ∑(n=1 to ∞) sin(n) 中,sin(n) 是 n 的正弦值,这是一个无界的函数。在这种情况下,级数 Sinn 会发散。
要证明级数 Sinn 发散,可以使用 Dirichlet 判别法或 Abel 判别法。这里我们以 Dirichlet 判别法为例:
设 a_n=sin n,b_n=1/n,则有:
∑(n=1 to N) a_n=sin1+sin2+...+sinN
∑(n=1 to N) b_n=1/1+1/2+...+1/N
由于 b_n 满足单调递减并趋于 0,a_n 满足高斯型振荡,且 ∑(n=1 to N) b_n 在 N 趋近于无穷时有上界(即古典调和级数),所以根据 Dirichlet 判别法,级数 Sinn 是发散的。
因此,级数 Sinn 是一个发散的数列。
要证明级数 Sinn 发散,可以使用 Dirichlet 判别法或 Abel 判别法。这里我们以 Dirichlet 判别法为例:
设 a_n=sin n,b_n=1/n,则有:
∑(n=1 to N) a_n=sin1+sin2+...+sinN
∑(n=1 to N) b_n=1/1+1/2+...+1/N
由于 b_n 满足单调递减并趋于 0,a_n 满足高斯型振荡,且 ∑(n=1 to N) b_n 在 N 趋近于无穷时有上界(即古典调和级数),所以根据 Dirichlet 判别法,级数 Sinn 是发散的。
因此,级数 Sinn 是一个发散的数列。
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