时钟问题
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时钟问题
时钟问题是基于时针、分针等在钟面以不同的速度运动彼此不断重合、分离、重合、……的关系而出现的一类试题。从运动的角度来看，时钟问题可以视为行程问题的变形，同时因为时钟特有的性质，在该类题目的运算中也有自己的特点。
时钟问题的一般类型就是时针和分针重合、成一直线或直角问题，实际上相当于时针和分针的追及问题或相遇问题。也会有一些其他体型，如牵涉到弧度的问题，以及时钟快慢的问题等。
时针和分针间的距离一般用角度即两者的夹角来表示，如重合时距离为0，成一直线时距离为180度，成直角时距离为90度。各自的速度也用角度来表示：
时针每十二个小时绕钟面转一圈，每分钟走360÷12÷60=0.5度
分针每小时绕钟面转一圈，每分钟走360÷60=6度
速度差为6-5.5=5.5度/分钟
速度和为6+5.5=6.5度/分钟
例1：钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合?( )
A．22又7/11分 B．21又9/11分
C．19又8/11分 D．20又7/13分
正确答案：B
解析：4点整时，分针指向12，时针指向4，时针在前，分针在后；要两针重合，需要分针赶上时针。
分针与时针的速度差为5.5度/分钟，而4点时时针与分针相距120度，则分针需120÷5.5=21又9/11分钟能追上时针，此时两针第一次重合。
例2：从4时到5时，钟的时针与分针可成直线的机会有多少次？
A.1次 B.2次
C.3次 D.4次
正确答案：B
解析：两针成一直线，包括两针重合以及成180角两种情形。
4时整时，时针与分针成120度角；5时整时，时针与分针成150度角。从4时到5时，时针与分针的角度先从120度减到0度（两针重合），再增加到180度（两针反向成一直线），再减少到150度。可知，时针与分针有2次成一直线。
例3：从时钟指向5点整开始，到时针、分针正好第一次成直角，需要经历( )分钟。
A.10 B.10又10/11
C.11 D.11又10/11
正确答案：B
解析：分针和时针的“速度”差为：5.5度/分。时钟指向5点整时，时针、分针的夹角为150度；时针、分针正好第一次成直角时，夹角减少到90度，即分针和时针所走的角度差为150-90=60度，故所需时间为60÷5.5=10又10/11分，选B。
例4：时钟指示2点15分，它的时针和分针所成的锐角是多少度?
A．45度 B．30度
C．25度50分 D．22度30分
正确答案：D
解析：2点整时，分针指向12，时针指向2，时针在前，分针在后，时针和分针的夹角为60度。到2点15分时，分针走了15分钟，走了15×6=90度，时针走了15×0.5=7.5度，故此时他们所夹的锐角为90-60-7.5=22.5度。
例5：从上午十一点三十八分到当天下午一点二十三分，时钟的时针旋转的角度与分针旋转的角度之差为 弧度。
A．10.08 B．7.19
C．12.21 D. 9.42
正确答案：A
解析：弧长等于圆半径长的弧所对的圆心角为1弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度。
从上午十一点三十八分到当天下午一点二十三分一共是过了105分钟，时针、分针的速度差为6-5.5=5.5度/分钟，则总的角度差为105×5.5=577.5度，换算成弧度，为577.5÷360×2π=10.08，所以选择A。（π取3.14）
例6：小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束又看了手表，发现时针与分针恰好互换了位置，问这个会议大约开了1小时多少分？
A. 51 B. 47
C. 45 D. 43
正确答案：A
解析：经过一个多小时，时针与分针互换位置，那么会议开始时分针一定在时针之前。则经过一个多小时之后，时针走过一个小角度到达分针的位置，分针走过2圈差一点的角度，到达时针的位置，此时分针与时针在相同的时间内总共走过2圈的角度，相当于一个相遇问题。
时针、分针的速度和为6+5.5=6.5度/分钟，故时针和分针用了720÷（0.5+6）≈111分钟=1小时51分走过2圈的路程。
例7：1898年4月1日，星期五，三只新时钟被调到相同的时间：中午12点。第二天中午，发现A钟的时间完全准确，B钟正好快了1分钟，C钟正好慢了1分钟。现在假设三个钟都没有被调，它们保持着各自的速度继续走而且没有停。那么到 ，三只时钟的时针分针会再次都指向12点。
A. 1900年3月20日正午12点 B. 1900年3月21日正午12点
C. 1900年3月22日正午12点 D. 1900年3月19日正午12点
正确答案：A
解析：由题意：B钟在1天的时间内快了1分钟，C钟在1天的时间内慢了1分钟，若他们时针、分针都再次指向12点，那么，B钟总共要快了12小时，C钟总共要慢了12小时，那么需要的时间为60×12=720天，由此，此题变成，1898年4月1日的720天后是几月几日？
1898年4月1日以前有31+28+31=90天，那么4月1日到年底有365-90=275天；1899年全年有365天；而1900年不是闰年，这样1900年第（720-275-365）=80天应该是3月21日，故选B。
时钟问题是基于时针、分针等在钟面以不同的速度运动彼此不断重合、分离、重合、……的关系而出现的一类试题。从运动的角度来看，时钟问题可以视为行程问题的变形，同时因为时钟特有的性质，在该类题目的运算中也有自己的特点。
时钟问题的一般类型就是时针和分针重合、成一直线或直角问题，实际上相当于时针和分针的追及问题或相遇问题。也会有一些其他体型，如牵涉到弧度的问题，以及时钟快慢的问题等。
时针和分针间的距离一般用角度即两者的夹角来表示，如重合时距离为0，成一直线时距离为180度，成直角时距离为90度。各自的速度也用角度来表示：
时针每十二个小时绕钟面转一圈，每分钟走360÷12÷60=0.5度
分针每小时绕钟面转一圈，每分钟走360÷60=6度
速度差为6-5.5=5.5度/分钟
速度和为6+5.5=6.5度/分钟
例1：钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合?( )
A．22又7/11分 B．21又9/11分
C．19又8/11分 D．20又7/13分
正确答案：B
解析：4点整时，分针指向12，时针指向4，时针在前，分针在后；要两针重合，需要分针赶上时针。
分针与时针的速度差为5.5度/分钟，而4点时时针与分针相距120度，则分针需120÷5.5=21又9/11分钟能追上时针，此时两针第一次重合。
例2：从4时到5时，钟的时针与分针可成直线的机会有多少次？
A.1次 B.2次
C.3次 D.4次
正确答案：B
解析：两针成一直线，包括两针重合以及成180角两种情形。
4时整时，时针与分针成120度角；5时整时，时针与分针成150度角。从4时到5时，时针与分针的角度先从120度减到0度（两针重合），再增加到180度（两针反向成一直线），再减少到150度。可知，时针与分针有2次成一直线。
例3：从时钟指向5点整开始，到时针、分针正好第一次成直角，需要经历( )分钟。
A.10 B.10又10/11
C.11 D.11又10/11
正确答案：B
解析：分针和时针的“速度”差为：5.5度/分。时钟指向5点整时，时针、分针的夹角为150度；时针、分针正好第一次成直角时，夹角减少到90度，即分针和时针所走的角度差为150-90=60度，故所需时间为60÷5.5=10又10/11分，选B。
例4：时钟指示2点15分，它的时针和分针所成的锐角是多少度?
A．45度 B．30度
C．25度50分 D．22度30分
正确答案：D
解析：2点整时，分针指向12，时针指向2，时针在前，分针在后，时针和分针的夹角为60度。到2点15分时，分针走了15分钟，走了15×6=90度，时针走了15×0.5=7.5度，故此时他们所夹的锐角为90-60-7.5=22.5度。
例5：从上午十一点三十八分到当天下午一点二十三分，时钟的时针旋转的角度与分针旋转的角度之差为 弧度。
A．10.08 B．7.19
C．12.21 D. 9.42
正确答案：A
解析：弧长等于圆半径长的弧所对的圆心角为1弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度。
从上午十一点三十八分到当天下午一点二十三分一共是过了105分钟，时针、分针的速度差为6-5.5=5.5度/分钟，则总的角度差为105×5.5=577.5度，换算成弧度，为577.5÷360×2π=10.08，所以选择A。（π取3.14）
例6：小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束又看了手表，发现时针与分针恰好互换了位置，问这个会议大约开了1小时多少分？
A. 51 B. 47
C. 45 D. 43
正确答案：A
解析：经过一个多小时，时针与分针互换位置，那么会议开始时分针一定在时针之前。则经过一个多小时之后，时针走过一个小角度到达分针的位置，分针走过2圈差一点的角度，到达时针的位置，此时分针与时针在相同的时间内总共走过2圈的角度，相当于一个相遇问题。
时针、分针的速度和为6+5.5=6.5度/分钟，故时针和分针用了720÷（0.5+6）≈111分钟=1小时51分走过2圈的路程。
例7：1898年4月1日，星期五，三只新时钟被调到相同的时间：中午12点。第二天中午，发现A钟的时间完全准确，B钟正好快了1分钟，C钟正好慢了1分钟。现在假设三个钟都没有被调，它们保持着各自的速度继续走而且没有停。那么到 ，三只时钟的时针分针会再次都指向12点。
A. 1900年3月20日正午12点 B. 1900年3月21日正午12点
C. 1900年3月22日正午12点 D. 1900年3月19日正午12点
正确答案：A
解析：由题意：B钟在1天的时间内快了1分钟，C钟在1天的时间内慢了1分钟，若他们时针、分针都再次指向12点，那么，B钟总共要快了12小时，C钟总共要慢了12小时，那么需要的时间为60×12=720天，由此，此题变成，1898年4月1日的720天后是几月几日？
1898年4月1日以前有31+28+31=90天，那么4月1日到年底有365-90=275天；1899年全年有365天；而1900年不是闰年，这样1900年第（720-275-365）=80天应该是3月21日，故选B。
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