Question

设limXn(n→∞)=A(有限或∞），证明：lim1/n(X1+X2+...+Xn)(n→∞)=A

急求，3Q

Answer 1

lim(n->∞) an =a ,求证： lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a

证明：
① 对任意 ε>0 ,
∵ lim(n->∞) an =a
对 ε/2 >0 ,存在 N1，当n>N1时, |an-a|<ε/2，
令: M = 2(|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a| +1)/ε
则当 n > max{ M , N1} 时:
|(a1+a2+..+an)/n - a|
≤ (|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n +(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n
≤ ε/2 +(n-N1)*ε/2/n ≤ ε/2+ε/2 = ε

② 故存在 N = max{ [M] , N1} ∈Z+

③ 当 n>N 时，

④ 恒有： |(a1+a2+..+an)/n - a| < ε 成立。

∴ lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a

{本题最简洁的方法是直接套 O'Stoltz 定理即可}

反之不成立, 如反例 :
an = (-1)^n
lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n = 0 ,但:

an = (-1)^n 发散.