Question

分别求半径为R的圆内接正三角形,正方形的边长,边心距和面积(过程)

Answer 1

内接正三角形：
因为三角形是正三角形，所以角A的角平分线、过A点做BC的中线以及过A做BC的高都为同一条直线，并且过圆心O。同理就可以知道OC为角C的角平分线，所以角OCD为30°，OC长为R，所以边心距OD=1/2OC=R/2。根据勾股定理得DC为2分之根号3倍的R，所以变长为根号3倍的R。三角形ABC可以看成是六个小三角形ODC组成的，而三角形ODC的面积为4分之根号3 倍的R，所以三角形ABC的面积为2分之3倍根号3倍的R。
内接正方形：
依题可知，角CAB为90°，所以由勾股定理可知边长BC为根号2倍的R，所以面积为2R。又知CF长为2分之根号2倍的R，在三角形CAF中，用勾股定理得边心距AF长为2分之根号2倍的R

追答

这个更好点

圆点到内接正三角形的高和半径以及底边的一半构成直角三角形，正三角形的角是60度
小三角形的锐角是30度
底边的一半=Rcos30
底边=2Rcos30=R*根号3
小高=边心距=R*sin30=0.5R
正三角形的高=0.5R+R=1.5R
面积=0.5X底X高 =0.5XR*根号3X1.5R=3/4*（R方）

内接正方形：
圆心连接两个相邻的正方形的顶点，这是一个等腰的直角三角形，腰=R，斜边=根号（R^2+R^2）=R*根号2
边心距=Rsin45=0.5R根号2
面积：边长平方=（R*根号2 ）^2=2R^2