Question

二次函数的性质有那些

Answer 1

①一般式

y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式

[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k(a,h,k为常数,a≠0)
③交点式

[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数,a≠0)
抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0，〔即b=0〕时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=〔4ac-b^2〕/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
7.定义域：R
值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[k，正无穷）
奇偶性：非奇非偶 （当且仅当b=0时，函数解析式为f（x）=ax^2+c, 此时为偶函数）
周期性：无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0，a、b、c为常数。
⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；
⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ>0，图象与x轴交于两点：
（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b-√Δ]/2a，0）；
Δ=0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
Δ<0，图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)^2+k[配方式]
此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；

Answer 2

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c(a≠0)，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0(a≠0)
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0，a、h、k为常数)
交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2为常数)

Answer 3

InputBox
一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。