Question

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的一点p（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+1

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的一点p（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+1（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式
（2）函数f（x）在区间【-2，0】上单调递增，求实数b的取值范围。

Answer 1

解:1)求导函数f‘(x)=3x^2+2ax+b
由题意:3*1^2+2*1*a+b=3 (Ⅰ)
3*(-2)^2-2*2*a+b=0
则 a=2 b= -4
又p点(1,4),代入函数得:c=5
故f(x)=x^3+2x^2-4x+5
(2)欲单调递增,需导函数再此区间上的值恒大于等于0
f‘(x)=3x^2+2ax+b
由(Ⅰ)知f‘(x)=3x^2-bx+b
对称轴x=b/6
当b/6≤-3时,f‘(-3)≥0 得:x无解
当-3＜b/6≤1时,(b-b^2/12)≥0 得:0≤b≤6
当b/6＞1时,f‘(1)≥0 得 :b＞6
综上: b≥0