Question

已知函数f（x）=x+a/x+lnx,（a∈R） （1）若f（x）有最值，求实数a的取值范围（2）

已知函数f（x）=x+a/x+lnx,（a∈R） （1）若f（x）有最值，求实数a的取值范围（2）若a≥2时，若存在x1,x2（x1≠x2）,使得曲线y=f（x）在x=x1与x=x2处的切线相互平行，求证：x1+x2＞8

Answer 1

解：有乱码的话可以看下面的截图、、、
⑴∵f(x)=x+a/x+lnx，
∴f′(x)=1−a/x²+1/x=(x²+x−a)/x²，其中x∈(0，+∞)，
令f'(x)=0，即x²+x−a=0，△=1+4a，
①当△≤0，即a≤−1/4时，f′(x)≥0，f(x)在(0，+∞)上递增，无最值；
②当△>0，即a>-1/4时，
Ⅰ当x²+x-a=0的两根均非正时，
由x1+x2=-1<0，x1•x2=-a≥0得：-1/4<a≤0，
此时f(x)在(0，+∞)上递增，无最值；
Ⅱ当a>0时，x²+x-a=0有一正根和一负根，存在最小值；
综上，a>0；

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⑵证明：
1−a/x1²+1/x1=1−a/x2²+1/x2，
整理得：a(1/x1+1/x2)=1，
∵x1>0，x2>0，且x1≠x2，
∴a=x1•x2/(x1+x2)≥2，
∴2(x1+x2)≤x1•x2<[(x1+x2)/2]²，←----------基本不等式
即2(x1+x2)<[(x1+x2)/2]²，
∵x1+x2>0，
则有x1+x2>8．

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