Question

已知函数f(x)=ln(1+x)-[x/(1+ax)]，（a＞0）

已知函数f(x)=ln(1+x)-[x/(1+ax)]，（a＞0）

（1）若f(x)在（0，+∞）内为单调增函数，求a的取值范围

（2）若f(x)在x=0处取得极小值，求a的取值范围

Answer 1

f(x)=ln(1+x)-[x/(1+ax)], (a＞0), f'(x)=1/(1+x)-1/(1+ax)^2=x(a^2*x+2a-1)/(1+ax)^2.
(1) 若f(x)在(0，+∞)内为单调增函数, 则 f'(x)>0, 得 a^2*x+2a-1>0, x>(1-2a)/a^2≥0, 得 0<a≤1/2.
(2) 若f(x)在 x=0 处取得极小值, f''(x)=-1/(1+x)^2+2a/(1+ax)^3, f''(0)=-1+2a>0, 得 a>1/2