Question

已知函数y=根号2cos平方x-根号2sin平方x+2根号2sinxcosx+1，x属于R,（1）求函数的值域和最小正周期。

已知函数y=根号2cos平方x-根号2sin平方x+2根号2sinxcosx+1，x属于R,（1）求函数的值域和最小正周期。（2）求该函数去最值时自变量x的取值范围

Answer 1

解
y=√2cos²x-√2sin²x+2√2sinxcosx+1
=√2(cos²x-sin²x)+√2sin2x+1
=√2sin2x+√2cos2x+1
=2(√2/2sin2x+√2/2cos2x)+1
=2(sin2xcosπ/4+cos2xsinπ/4)+1
=2sin(2x+π/4)+1
∵sin(2x+π/4)∈[-1,1]
∴-1<y<3
∴值域为[-1,3]
最小周期为：2π/2=π

当2x+π/4=π/2+2kπ
即x=π/8+kπ时，y取得最大值，ymax=3
∴x∈{x/x=π/8+kπ](k∈z)
当2x+π/4=-π/2+2kπ
即x=-3/8π+kπ时，y取得最小值，ymin=-1
∴x∈{x/x=-3/8π+kπ}