Question

设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2^n+1+1,且a1,a2+5.a3成等差数

证明：对一切正整数n,有1/a1+1/a2+...1/an<3/2 an已经求出为3^n-2^n想详细知道第二问怎么用放缩法，具体点

Answer 1

3^n-2^n-3^(n-1)
=2*3^(n-1)-2^n
=2*(3^(n-1)-2^(n-1))>0
∴an=3^n-2^n>3^(n-1),
∴1/an<1/3^(n-1)
∴1/a1+1/a2+...1/an
<(1/3)^0+(1/3)^1+(1/3)^2+。。。+1/3^(n-1)
=1*(1-(1/3)^n)/(1-1/3)
=3/2(1-(1/3)^n)
<3/2
故，1/a1+2/a2+3/a3+……+1/an<3/2，对于任意的正整数n成立。

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追问

看是看懂了，可就是自己做的时候怎样才能想到这样呢，一般你遇到这样的题你的解题思路可以告诉我一下吗？谢谢

追答

一般来说多数是形成新的等比数列，且公比<1

或者对数相加，变成内部真数连乘化简
但主要多加练习

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