Question

如图,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,对角线AC平分∠DAB,∠DAB=90°,求证:AB+AD=（√2）AC

Answer 1

不知道你图形中∠ABC和∠ADC哪个大，我按∠ABD是钝角处理的
证明，从C作CM⊥AB于M，CN⊥AD，交AD延长线于N
∠ABC+∠ADC=180，所以∠DAB+∠DCB=180
因为∠DAB=90，所以∠DCB=90
CM⊥AB，CN⊥AD，所以∠AMC=∠ANC=90
又有∠DAB=90，所以四边形AMCN为矩形
AC平分∠DAB，所以四边形AMCN对角线平分一组对角，因此是正方形
∠BCM=∠BCD-∠DCM，∠DCN=∠MCN-∠DCM
因为∠BCD=∠MCN=90，所以∠BCM=∠DCN
又有∠BMC=∠DNC=90，CM=CN
所以△BCM≌△DCN，BM=DN
AB+AD=AB-BM+AD+DN=AM+AN
因为AM、AN和为正方形AMCN边长的2倍，AC为正方形对角线，是边长的√2倍
所以AM+AN=√2AC，即AB+AD=√2AC