Question

已知函数f(x)=(1+x2)分之(ax+b)是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(2分之1)=5分之2...

已知函数f(x)=(1+x2)分之(ax+b)是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(2分之1)=5分之2。求出函数f(x)的解析式
证明函数在定义域内是单调增函数

Answer 1

f（x）=(ax+b)/(x^2+1)是奇函数，f(-x)=-f(x)
(-ax+b)/(x^2+1)=- (ax+b)/(x^2+1),
所以b=0.
又f(1/2)=2/5，所以(a/2)/(1/4+1)=2/5,a=1.
∴f(x)=x/(x^2+1).

Answer 2

由题意得
F（x）=F（-x）
所以得到
f(x)=(1+x2)分之(ax+b)
f(-x)=(1+x2)分之(-ax+b)

所以 a=0

又f(2分之1)=5分之2

带入方程f(x)=(1+x2)分之b

f(1/2)=4/5*b=2/5

所以b=1/2
f(x)=1/2(1+x^2)

1+x^2恒大于1
所以 f(x）在定义域内为减函数

Answer 3

解：(1)由已知，f(0)=0,从而b=0,
再由f(1/2)=2/5,得a=1。
所以f(x)=x/(1+x^2)
(2)设-1<x1<x2<1,则：x1-x2<0,-1<x1x2<1,
所以：f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
=(x1-x2)(1-x1x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)
<0
所以：f(x1)<f(x2)
所以：f（x）在定义域内是单调增函数。

Answer 4

奇函数且其在原点处有定义,因此必然经过原点.因此f(0)=0.求出b=0.又已知f(2分之1)=5分之2,代入,就可求出a值

Answer 5

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