Question

数列{(1+1/n)^n}的极限，会的来，复制帝绕道

高数上数列{(1+1/n)^n}最后不是小于3吗？为什么又变成e？如果极限实际是个大于e小于3的呢？书上到这部就一笔带过。求要详细，但简单的解答。手机党不方便。
难道大家当初给什么就学什么，书上说是e根本没证明，你们就这样认为了？

Answer 1

你误会了，小于3切是一个常数。实际上这个是不用说明的，因为数列极限的唯一性，极限只要存在就是确定的这个题目用纯粹的数列方法证明为e是比较麻烦的。不过可以为你提供较为简便的求法，1/n是一个趋于零的极限 运用海涅定理可以等价位lim(1+x)^(1/x)其中x趋于0 这个运用罗比他法则就非常的简便了

追问

之前没学，现在在书后看到了。

Answer 2

首先，可以证明(1+1/n)^n单增数列，而且小于3，单调有界数列是收敛的，而收敛值只能为一个常数，这个常数就定义为e。

什么叫如果极限实际是个大于e小于3的呢？这个数已经定义为e了，哪里有大于e这个说法

追问

3不是常数吗？证明出的不是3吗？突然变成e是怎么回事？感觉没头没尾的

追答

是啊，证明出它小于3，但是小于3的数有无数个，它只收敛于一个定值，我们定义这个数为e。
就比如说1/n<1，但是你不能说它收敛于1啊，它是收敛于0的呀。

追问

哦哦，我们只要知道收敛于e对吧，不要求知道e是怎么来的？