Question

已知函数f(x)的的导函数为f(x),满足xfˊ(x)+2f(x)=lnx/x,且满足f(e)=1/2e,则函数的单调性情况.

Answer 1

xf'(x)+2f(x)=lnx/x, 则x≠0， 即可表为 y'+2y/x=lnx/x^2， 是一阶线性微分方程，则
y = f(x) = e^(-∫2dx/x)[∫(lnx/x^2)e^(∫2dx/x)dx+C]
= (1/x^2)(∫lnx+C)= (1/x^2)((xlnx-x+C),
f(e)= 1/(2e), 得 C=e/2，则 f(x)=(xlnx-x+e/2)/x^2.
f'(x)=(2x-xlnx-e)/x^3, 观察得驻点 x=e.
f''(x)=(2xlnx-5x+3e)/x^4, f''(e)=0, 故 x=e不是极值点。
又 f'(1)=2-e<0, f'(e^2)=-1/e^5,
lim<x→0+> f'(x)=+ ∞, lim<x→+ ∞> f'(x)=0,
故函数在定义域上单调减少。