Question

微分方程中，为什么老是假设y＝e∧rx是齐次微分方程的解。为什么？为什么？

Answer 1

你这个问题问得很好啊。这个是求解线性常微分方程的关键。因为指数函数是线性常微分方程的特征函数，带入指数函数后，能够把线性常微分方程转变为代数方程，极大地简化了求解规则。
不仅如此，在利用微分方程来表达线性系统时，利用福利叶变换能够将激励转变为各种谐波的叠加，每个频率的谐波经过这个微分方程后不会相互影响。这个规律是极其伟大的发现。不仅很多的经典工程学科是建立在这个发现之上（比如电磁波），而且现代的量子力学中的薛定谔方程的求解也是严重依赖这种规则来解除耦合关系。
复指数函数可以同三角函数相互转换，所以在求解微分方程时，复指数函数是重中之重。